극값 조건 삼차함수

[출제의도] 정적분으로 표현된 함수의 미분을 이용하여 문제해결하기 조건 (나)에서 $t = 0$을 대입하면 $\displaystyle f ( 0 ) = \int _{0} ^{0} {} \left| f' ( x ) + 1 \right| dx = 0$ 조건 (나)에서 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $\left| f' ( t ) + 1 \right| = f' ( t ) + 1$ 그러므로 $f' ( t ) + 1 \geq 0$, $f' ( t ) \geq - 1$ 조건 (가)에서 $x = 0$에서 극댓값을 갖고, $x = 1$에서 극솟값을 가지므로 $\displaystyle f' ( x ) = ax ( x - 1 ) = a \left( x - \frac{1}{2} \right) ^{2} - \frac{a}{4} ( a > 0 )$ 이때 $f' ( x ) \geq - 1$이므로 $\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) \geq - 1$ 이어야 한다. 그러므로 $\displaystyle - \frac{1}{4} a \geq - 1$, $a \leq 4$ 한편, $\displaystyle f ( x ) = \int _{} ^{} {} f' ( x ) dx = \int _{} ^{} {} ax ( x - 1 ) dx$ $\displaystyle = \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{a}{2} x ^{2} + C$ (단, $C$는 적분상수) $f ( 0 ) = 0$이므로 $C = 0$ 즉, $\displaystyle f ( x ) = \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{a}{2} x ^{2}$이고 $0 < a \leq 4$ 이다. 따라서 극솟값은 $\displaystyle f ( 1 ) = \frac{a}{3} - \frac{a}{2} = - \frac{a}{6}$ 이때, $0 < a \leq 4$ 에서 $\displaystyle - \frac{2}{3} \leq - \frac{a}{6} < 0$ 그러므로 극솟값의 최솟값은 $\displaystyle - \frac{2}{3}$이다. $\therefore p + q = 5$