극값 없는 삼차함수

$f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + ( a + 6 ) x + 2$에서 $f' ( x )$$= 3 x ^{2} + 2 ax + ( a + 6 )$ 삼차함수 $f ( x )$가 극값을 갖지 않으려면 모든 실수 $x$에 대하여 $f' ( x ) \geq 0$ 또는 $f' ( x ) \leq 0$이어야 한다. 그런데 $f' ( x )$의 최고차항의 계수가 양수이므로 $f' ( x ) \geq 0$이어야 한다. 따라서 이차방정식 $f' ( x ) = 0$의 판별식을 $D$라 할 때, $D \leq 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4}$$= a ^{2} - 3 ( a + 6 ) \leq 0$ $( a - 6 ) ( a + 3 ) \leq 0$ ∴ $- 3 \leq a \leq 6$ 따라서 정수 $a$의 개수는 $10$개다.