미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

극댓값으로 상수 결정

문제

함수 $f ( x ) = x ^{3} - 9 x ^{2} + 24 x + a$ 의 극댓값이 $10$ 일 때, 상수 $a$ 의 값은? [4점] ① $- 12$ ② $- 10$ ③ $- 8$ ④ $- 6$ ⑤ $- 4$

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②

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극댓값을 구하기 위하여 주어진 식을 미분하여 정리해보면 $f' ( x ) = 3 x ^{2} - 18 x + 24 = 3 ( x - 2 ) ( x - 4 )$ 이다. 이를 증감표를 이용하여 극댓값을 구해보면

$x = 2$ 일 때 극댓값이다. 따라서 $f ( 2 ) = 8 - 36 + 48 + a = 10$ 이다. $a = - 10$