극댓값 조건 삼차함수

$f' ( x ) = 3 x ^{2} - 6 ax + 3 ( a ^{2} - 1 ) = ( 3 x - ( 3 a + 3 ) ) ( x - ( a - 1 ) )$ 즉 $x = a - 1$일 때 극댓값 4를 갖는다. $f ( - 2 ) > 0$이므로 $f ( - 2 ) = - 6 a ^{2} - 12 a - 2$, $3 a ^{2} + 6 a + 1 < 0$이 된다. $\displaystyle \frac{- 3 - \sqrt{6}}{3} < a < \frac{- 3 + \sqrt{6}}{3}$ 이므로 $a < 0$이다. $f ( a - 1 ) = ( a - 1 ) ^{3} - 3 a ( a - 1 ) ^{2} + 3 ( a ^{2} - 1 ) ( a - 1 )$$= ( a - 1 ) ^{2} ( a + 2 ) = 4$ 정리하면 $a ^{3} - 3 a + 2 = 4$ , $a ^{2} - 3 a - 2 = ( a + 1 ) ^{2} ( a - 2 ) = 0$이다. $\therefore a = - 1 ( a < 0 )$ 그러므로 $f ( x ) = x ^{3} + 3 x ^{2}$ $f ( - 1 ) = 2$