극댓값 직선 넓이

$f' ( x ) = 4 x ( x - 1 ) ( x + 1 )$이므로 함수 $x = 1$, $x = - 1$에서 극솟값을 갖고 $x = 0$에서 극댓값을 갖는다. ∴ $f ( x ) = x ^{4} - 2 x ^{2} + k$ 따라서 함수 $f ( x )$의 그래프는 $y$축에 대하여 대칭인 꼴이고 함수 $y = f ( x )$와 직선 $y = k$로 둘러싸인 부분은 다음과 같다.

$x ^{4} - 2 x ^{2} + k = k$에서 $\displaystyle x ^{2} ( x - \sqrt{2} ) ( x + \sqrt{2} ) = 0$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{- \sqrt{2}} ^{\sqrt{2}} ( 2 x ^{2} - x ^{4} ) dx$$\displaystyle = 2 \int _{0} ^{\sqrt{2}} ( 2 x ^{2} - x ^{4} ) dx$ $\displaystyle = 2 \left[ \frac{2}{3} x ^{3} - \frac{1}{5} x ^{5} \right] _{0} ^{\sqrt{2}}$ $\displaystyle = 2 \left( \frac{4 \sqrt{2}}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{5} \right)$ $\displaystyle = \frac{16 \sqrt{2}}{15}$