거리의 제곱의 합이 일정한 점

선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{1 + 7}{2} , \frac{2 + 10}{2} \right)$ 이므로 $\mathrm{M} ( 4 , 6 )$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \sqrt{( 4 - 1 ) ^{2} + ( 6 - 2 ) ^{2}} = \sqrt{25} = 5$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$ 에서 점 $\mathrm{M}$ 은 변 $\mathrm{AB}$ 의 중점이므로 중선정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} + \overline{\mathrm{PB}} ^{2} = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 2 \overline{\mathrm{AM}} ^{2}$ $\displaystyle 100 = 2 \overline{\mathrm{PM}} ^{2} + 2 \times 25$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} ^{2} = 25$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = 5$ 따라서 점 $\mathrm{P}$ 는 점 $\mathrm{M}$ 까지의 거리가 항상 $5$ 인 점이므로 구하는 반지름의 길이는 $5$ 이다.