거리의 제곱의 합 조건과 점의 개수

실마리: 두 조건을 중선정리로 고치면 「어떤 점까지의 거리」 조건, 즉 원이 된다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점은 원점 $\mathrm{O}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = \mathit{4}$이므로 조건 (가)에서 $\displaystyle k = 2 ( \overline{\mathrm{PO}} ^{2} + 16 )$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} ^{2} = \frac{k}{2} - 16$ 선분 $\mathrm{CD}$의 중점은 $\mathrm{E} ( 3 , 4 )$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{CE}} = \mathit{5}$이므로 조건 (나)에서 $\displaystyle 100 = 2 ( \overline{\mathrm{PE}} ^{2} + 25 )$, 즉 $\displaystyle \overline{\mathrm{PE}} = \mathit{5}$ 따라서 조건 (나)를 만족시키는 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{E} ( 3 , 4 )$이고 반지름의 길이가 $5$인 원 위의 점이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}} = \sqrt{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5$이다. (ⅰ) $\displaystyle \frac{k}{2} - 16 = 0$, 즉 $k = 32$일 때 조건 (가)를 만족시키는 점은 $\mathrm{P} = \mathrm{O}$ 하나뿐이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}} = \mathit{5}$이므로 점 $\mathrm{O}$는 (나)의 원 위에 있다. 그러므로 두 조건을 모두 만족시키는 점은 오직 하나이다. (ⅱ) $\displaystyle \frac{k}{2} - 16 > 0$일 때 조건 (가)는 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle r = \sqrt{\frac{k}{2} - 16}$인 원이므로, 두 원이 한 점에서만 만나야 한다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}} = \mathit{5}$이므로 외접하려면 $r + 5 = 5$에서 $r = 0$이 되어 모순이고, 내접하려면 $\left| r - 5 \right| = 5$에서 $r = 10$ $r = 10$일 때 $\displaystyle \frac{k}{2} - 16 = 100$이므로 $k = 232$ (ⅲ) $\displaystyle \frac{k}{2} - 16 < 0$일 때 조건 (가)를 만족시키는 점은 없다. 따라서 구하는 모든 $k$의 값의 합은 $32 + 232 = 264$이다.