거리의 최솟값 함수의 미분가능성

$f ( x ) = kx ^{2} e ^{- x} ( k > 0 )$에서 $f' ( x ) = 2 kxe ^{-x} - kx ^{2} e ^{-x}$$= kx ( 2 - x ) e ^{-x}$ $f' ( x ) = 0$에서 $x = 0$ 또는 $x = 2$

곡선 $y = f ( x )$ 위의 점 $( t , f ( t ) )$에서 $x$축까지의 거리와 $y$축까지의 거리 중 크지 않은 값을 $g ( t )$라 하므로 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$, $y = - x$와 만나는 교점을 찾는다.

이때, 미분가능하지 않은 점이 한 곳만 있으려면 $x > 0$에서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = x$가 만나지 않거나 접해야 한다. 접점의 좌표를 $( t , f ( t ) )$라 하면 $kt ^{2} e ^{- t} = t \cdots \cdots \text{㉠}$이고 $x = t$에서 접선의 기울기가 $1$이므로 $kt ( 2 - t ) e ^{- t} = 1 \cdots \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $2 - t = 1$ $\therefore t = 1$ $\therefore k = e$ 따라서 $k$의 최댓값은 $e$이다.