거리의 비가 일정한 점의 자취 증명

실마리: 거리의 비 조건은 양변을 제곱하여 $x ^{2} + y ^{2}$ 의 계수로 나누는 것이 첫걸음이다. 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( x , y \right)}$ 에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = k ^{2} \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$ 이므로 $\left( x + 3 \right) ^{2} + y ^{2} = k ^{2} \left[ \left( x - 3 \right) ^{2} + y ^{2} \right]$ 정리하면 $\left( k ^{2} - 1 \right) \left( x ^{2} + y ^{2} \right) - 6 \left( k ^{2} + 1 \right) x + 9 \left( k ^{2} - 1 \right) = 0$ $k > 1$ 이므로 양변을 $k ^{2} - 1$ 로 나누면 $\displaystyle x ^{2} + y ^{2} - \frac{6 \left( k ^{2} + 1 \right)}{k ^{2} - 1} x + 9 = 0$ 완전제곱꼴로 고치면 $\displaystyle \left( x - \frac{3 \left( k ^{2} + 1 \right)}{k ^{2} - 1} \right) ^{2} + y ^{2} = \frac{9 \left( k ^{2} + 1 \right) ^{2}}{\left( k ^{2} - 1 \right) ^{2}} - 9$ 이때 $9 \left( k ^{2} + 1 \right) ^{2} - 9 \left( k ^{2} - 1 \right) ^{2} = 36 k ^{2}$ 이므로 우변은 $\displaystyle \frac{36 k ^{2}}{\left( k ^{2} - 1 \right) ^{2}}$ 이고, $k > 1$ 에서 반지름의 길이는 $\displaystyle \frac{6 k}{k ^{2} - 1}$ 이다. 즉 $\displaystyle f ( k ) = \frac{3 \left( k ^{2} + 1 \right)}{k ^{2} - 1}$, $\displaystyle g ( k ) = \frac{6 k}{k ^{2} - 1}$ $\displaystyle f ( 3 ) = \frac{3 \times 10}{8} = \frac{15}{4}$, $\displaystyle g ( 3 ) = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$ 따라서 $\displaystyle f ( 3 ) + g ( 3 ) = \frac{15}{4} + \frac{9}{4} = 6$