거리의 비 조건과 넓이의 최댓값

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 미지수로 놓고 조건을 정리하여 자취를 먼저 찾는 것이 실마리이다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $( x , y )$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = 2 \overline{\mathrm{PB}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = 4 \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$이므로 $( x + 3 ) ^{2} + y ^{2} = 4 \left\{ ( x - 3 ) ^{2} + y ^{2} \right\}$ $x ^{2} + 6 x + 9 + y ^{2} = 4 x ^{2} - 24 x + 36 + 4 y ^{2}$ $3 x ^{2} - 30 x + 27 + 3 y ^{2} = 0$ $x ^{2} - 10 x + 9 + y ^{2} = 0$ $( x - 5 ) ^{2} + y ^{2} = 16$ 즉, 점 $\mathrm{P}$는 중심이 $\mathrm{D} ( 5 , 0 )$이고 반지름의 길이가 $4$인 원 위를 움직인다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6$이고 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 높이는 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표의 절댓값이므로 그 최댓값은 $4$이다. $\displaystyle M = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

$\displaystyle \overline{\mathrm{CD}} = \sqrt{( 10 - 5 ) ^{2} + 12 ^{2}} = \sqrt{169} = 13$이고 $13 > 4$이므로 점 $\mathrm{C}$는 이 원의 외부에 있다. $m = 13 - 4 = 9$

따라서 $M + m = 12 + 9 = 21$