미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

거리 제곱 미분가능

문제

함수 $f \left( x \right)$ 는 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} x + 1 & \left( x < 1 \right) \\ - 2 x + 4 & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ 이고, 좌표평면 위에 두 점 ${\mathrm{A}} \left( - 1 , - 1 \right) , {\mathrm{B}} \left( 1 , 2 \right)$ 가 있다. 실수 $x$ 에 대하여 점 $\left( x , f \left( x \right) \right)$ 에서 점 $\mathrm{A}$ 까지의 거리의 제곱과 점 $\mathrm{B}$ 까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 $g \left( x \right)$ 라 하자. 함수 $g \left( x \right)$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하지 않은 모든 $a$ 의 값의 합이 $p$ 일 때, $80 p$ 의 값을 구하시오. [4점]

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186

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해설

두 점 $\mathrm{A} ( - 1 , - 1 )$ , $\mathrm{B} ( 1 , 2 )$ 로부터 거리가 같은 점들의 자취는 $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ $\displaystyle y = \mathit{-} \frac{2}{3} x + \frac{1}{2}$ 와 $y = f ( x )$ 의 교점의 $x$ 좌표는 각각 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{3}{10}$ , $\displaystyle \frac{21}{8}$ 이므로 $g ( x )$ 와 $g' ( x )$ 는 다음과 같이 구해진다. $\displaystyle g ( x ) = \begin{cases} 2 x ^{2} + 6 x + 5 ( x < - \frac{3}{10} ) \\ 2 x ^{2} - 4 x + 2 ( - \frac{3}{10} < x < 1 ) \\ 5 x ^{2} - 10 x + 5 ( 1 < x < \frac{21}{8} ) \\ 5 x ^{2} - 18 x + 26 ( x > \frac{21}{8} ) \end{cases}$ $\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} 4 x + 6 ( x < - \frac{3}{10} ) \\ 4 x - 4 ( - \frac{3}{10} < x < 1 ) \\ 10 x - 10 ( 1 < x < \frac{21}{8} ) \\ 10 x - 18 ( x > \frac{21}{8} ) \end{cases}$ $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{3}{10}$ , $\displaystyle \frac{21}{8}$ 에서 미분가능하지 않으므로 $80 p = 186$

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