거리 합 조건 직사각형

$\displaystyle {\overline{PA}} + {\overline{PB}} = 2 a$라 하면 $\displaystyle 2 \sqrt{10} \leq 2 a \leq 4 \sqrt{10}$ 이다. $a$가 일정할 때, 점 $P$의 자취는 타원이므로 $\displaystyle a = \sqrt{10}$일 때, $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1$ $\displaystyle a = 2 \sqrt{10}$일 때, $\displaystyle \frac{x ^{2}}{40} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$

위 그림과 같이 조건을 만족하는 넓이가 최대인 직사각형은 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1$과 점 $\displaystyle \left( \frac{5}{2} , \frac{3}{2} \right)$에서 접하면서 외부에 있고 점 $\left( 0 , 6 \right)$을 지나고 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{40} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$ 내부에 위치한다. 점 $\displaystyle \left( \frac{5}{2} , \frac{3}{2} \right)$에서 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1$의 접선은 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$이므로 넓이가 최대인 직사각형의 한 변의 길이는 점 $\left( 0 , 6 \right)$에서 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$ 이르는 거리와 같으므로 $\displaystyle \sqrt{2}$이다. 점 $\left( 0 , 6 \right)$을 지나고 $\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$에 평행한 직선의 방정식은 $x + y = 6$이므로 이 직선과 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{40} + \frac{y ^{2}}{36} = 1$의 교점은 $\displaystyle \left( \frac{120}{19} , - \frac{6}{19} \right)$이다. 따라서 넓이가 최대인 직사각형의 다른 한 변의 길이는 $\displaystyle \frac{120 \sqrt{2}}{19}$이므로 넓이의 최댓값은 $\displaystyle \frac{240}{19}$