대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거리 곱이 같은 점 증명

문제

세 변의 길이가 모두 다른 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 내부의 점 P\mathrm{P} 에서 변 AB,BC,CA\mathrm{AB} , {BC} , {CA} 까지의 거리를 각각 p,q,rp , q , r 이라 하자. 다음은 pAB‾=qBC‾=rCA‾\displaystyle p \mathrm{\overline{AB}} \mathit{=} q \mathrm{\overline{BC}} \mathit{=} r \mathrm{\overline{CA}} 이면 점 P\mathrm{P} 가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 (가) 임을 증명한 것이다.

A\mathrm{A} B\mathrm{B} C\mathrm{C} D\mathrm{D} P\mathrm{P} α\mathrm{\alpha} β\mathrm{\beta} γ\mathrm{\gamma} δ\mathrm{\delta} ⅰ) 점 A\mathrm{A} 에서 선분 AP\mathrm{AP} 의 연장선과 변 BC\mathrm{BC} 가 만나는 점을 D\mathrm{D} 라 하자. 사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다. BD‾sin⁡α=AB‾sin⁡γ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\sin \alpha} = \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\sin \gamma} DC‾sin⁡β=CA‾sin⁡δ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{DC}}}{\sin \beta} = \frac{\mathrm{\overline{CA}}}{\sin \delta} 따라서 BD‾DC‾=AB‾sin⁡αCA‾sin⁡β=\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\mathrm{\overline{DC}}} = \frac{\mathrm{\overline{AB}} \sin \alpha}{\mathrm{\overline{CA}} \sin \beta} = (나) (다) ⅱ) 점 B,C\mathrm{B} , C 에서도 위와 같은 방법으로 증명하면, 점 P\mathrm{P}가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 (가)

ⅰ) 점 A\mathrm{A} 에서 선분 AP\mathrm{AP} 의 연장선과 변 BC\mathrm{BC} 가 만나는 점을 D\mathrm{D} 라 하자. 사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다. BD‾sin⁡α=AB‾sin⁡γ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\sin \alpha} = \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\sin \gamma} DC‾sin⁡β=CA‾sin⁡δ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{DC}}}{\sin \beta} = \frac{\mathrm{\overline{CA}}}{\sin \delta} 따라서 BD‾DC‾=AB‾sin⁡αCA‾sin⁡β=\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\mathrm{\overline{DC}}} = \frac{\mathrm{\overline{AB}} \sin \alpha}{\mathrm{\overline{CA}} \sin \beta} = (나)

따라서 선분 AD\mathrm{AD} 는 △ABC\mathrm{\triangle} ABC의 (다) 이다.

ⅱ) 점 B,C\mathrm{B} , C 에서도 위와 같은 방법으로 증명하면, 점 P\mathrm{P}가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 (가) 임을 알 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①내심 11 각의 이등분선②수심 22 수선③수심 11 수선④무게중심 22 중선⑤무게중심 11 중선

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명문제 해결하기 ⅰ) 점 A\mathrm{A}에서 선분 AP\mathrm{AP}의 연장선과 변 BC\mathrm{BC} 가 만나는 점을 D\mathrm{D} 라 하자. 사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다. BD‾sin⁡α=AB‾sin⁡γ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\sin \alpha} = \frac{\mathrm{\overline{AB}}}{\sin \gamma}, DC‾sin⁡β=CA‾sin⁡δ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{DC}}}{\sin \beta} = \frac{\mathrm{\overline{CA}}}{\sin \delta} ∴ BD‾DC‾=AB‾sin⁡αsin⁡δCA‾sin⁡βsin⁡γ\displaystyle \frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\mathrm{\overline{DC}}} = \frac{\mathrm{\overline{AB}} \sin \alpha \sin \delta}{\mathrm{\overline{CA}} \sin \beta \sin \gamma} sin⁡δ=sin⁡(π−γ)=sin⁡γ\sin \delta = \sin ( \pi - \gamma ) = \sin \gamma 이므로 BD‾DC‾=AB‾sin⁡αCA‾sin⁡β=\displaystyle {\frac{\mathrm{\overline{BD}}}{\mathrm{\overline{DC}}} = \frac{\mathrm{\overline{AB}} \sin \alpha}{\mathrm{\overline{CA}} \sin \beta} =}AB‾pAP‾CA‾rAP‾=1\displaystyle \frac{{\mathrm{\overline{AB}}} \frac{p}{\mathrm{\overline{AP}}}}{{\mathrm{\overline{CA}}} \frac{r}{\mathrm{\overline{AP}}}} = 1 BD‾=DC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \overline{DC} 따라서 선분 AD\mathrm{AD}는 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 중선이다. ⅱ) 점 B,C\mathrm{B} , C 에서도 위와 같은 방법으로 증명하면, 점 P\mathrm{P}가 △ABC\mathrm{\triangle} ABC 의 무게중심임을 알 수 있다.

태그

#사인법칙#무게중심#증명 빈칸

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 삼각함수의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로