대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

거듭제곱근과 실근 개수

문제

다음은 nn이 자연수일 때, xx에 대한 방정식 xn=2cos⁡θ+1x ^{n} = 2 \cos \theta + 1의 실근의 개수에 대한 설명이다.

(가) nn이 짝수이고 2π3<θ<4π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3} < \theta < \frac{4 \pi}{3}이면 aa개 (나) nn이 짝수이고 3π2<θ<2π\displaystyle \frac{3 \pi}{2} < \theta < 2 \pi이면 bb개 (다) nn이 홀수이고 π3<θ<3π2\displaystyle \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{3 \pi}{2}이면 cc개

a+2b+3ca + 2 b + 3 c의 값은? [4점] ①33②44③55④66⑤77

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⑤

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해설

[출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 방정식의 실근의 개수 구하기 nn이 짝수이면 2π3<θ<4π3\displaystyle \frac{2 \pi}{3} < \theta < \frac{4 \pi}{3}에서 2cos⁡θ+1<02 \cos \theta + 1 < 0이므로 a=0a = 0. 3π2<θ<2π\displaystyle \frac{3 \pi}{2} < \theta < 2 \pi에서 cos⁡θ>0\cos \theta > 0이므로 2cos⁡θ+1>02 \cos \theta + 1 > 0에서 b=2b = 2이다. nn이 홀수이면 θ\theta에 관계없이 c=1c = 1이다. ∴a+2b+3c=0+4+3=7\therefore a + 2 b + 3 c = 0 + 4 + 3 = 7

태그

#거듭제곱근#실근의 개수#삼각함수

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