거듭제곱 명제가 참이 되게 하는 m의 합

실마리: 대우로 바꾸면 가정이 ‘$n$이 $4$의 배수’가 되므로 $n = 4 k$를 대입하여 $2 ^{n} - 1$이 언제나 $m$의 배수가 되는 $m$을 찾는다. 주어진 명제의 대우는 ‘자연수 $n$에 대하여 $n$이 $4$의 배수이면 $2 ^{n} - 1$은 $m$의 배수이다.’ 이고, 명제와 대우의 참, 거짓은 일치한다. (ⅰ) 필요조건: $n = 4$일 때 $2 ^{4} - 1 = 15$가 $m$의 배수이어야 하므로 $m$은 $15$의 약수이다. $1$보다 큰 $15$의 약수는 $3 , 5 , 15$이다. (ⅱ) 충분조건: $n = 4 k$ ($k$는 자연수)이면 $2 ^{n} - 1 = 16 ^{k} - 1 = ( 16 - 1 ) ( 16 ^{k - 1} + 16 ^{k - 2} + \cdots + 16 + 1 ) = 15 \times ( 16 ^{k - 1} + \cdots + 1 )$ 이므로 $2 ^{n} - 1$은 $15$의 배수이고, 따라서 $3$, $5$, $15$의 배수이다. 즉 $m = 3 , 5 , 15$일 때 대우가 참이므로 주어진 명제도 참이다. (검산) $m = 7$이면 $n = 4$일 때 $2 ^{4} - 1 = 15$는 $7$의 배수가 아니지만 $n = 4$는 $4$의 배수이므로 명제는 거짓이다. 마찬가지로 $15$의 약수가 아닌 $m$은 모두 $n = 4$가 반례가 된다. 따라서 구하는 합은 $3 + 5 + 15 = 23$