가우스 적분 공식 계수

$5$차 이하의 모든 다항식 $f ( x )$에 대하여 $\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} f ( x ) dx = f \left( - \sqrt{\frac{3}{5}} \right) a + f ( 0 ) b + f \left( \sqrt{\frac{3}{5}} \right) a$ 이 성립하고, 또한 적분구간이 대칭구간이므로 $f ( x )$가 우함수인 경우에 대해서 생각해보면 $f ( x ) = x ^{2}$일 때도 주어진 식이 성립하여야 한다. 따라서 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle \int _{-1} ^{1} f ( x ) dx = \int _{-1} ^{1} x ^{2} dx = \frac{2}{3}$$\displaystyle = \frac{3}{5} a + 0 \cdot b + \frac{3}{5} a$$\displaystyle = \frac{6}{5} a$ ∴ $\displaystyle a = \frac{5}{9}$ 또한 $f ( x ) = 1$일 때도 성립해야 하므로 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle \int _{-1} ^{1} f ( x ) dx = \int _{-1} ^{1} 1 dx = 2$$= a + b + a$$\displaystyle = \frac{10}{9} + b$ $\displaystyle \therefore b = \frac{8}{9}$