가우스 기호와 수열의 합

$\displaystyle a _{1} = 2 + ( - 1 ) ^{\left[ \frac{1}{2} \right]} = 2 + 1 = 3$ $\displaystyle a _{2} = 2 + ( - 1 ) ^{\left[ \frac{2}{2} \right]} = 2 - 1 = 1$ $\displaystyle a _{3} = 2 + ( - 1 ) ^{\left[ \frac{3}{2} \right]} = 2 - 1 = 1$ $\displaystyle a _{4} = 2 + ( - 1 ) ^{\left[ \frac{4}{2} \right]} = 2 + 1 = 3$ $\displaystyle a _{5} = 2 + ( - 1 ) ^{\left[ \frac{5}{2} \right]} = 2 + 1 = 3$ $\vdots$ $n = 4 k - 3 , 4 k ( k = 1 , 2 , \cdots )$인 경우 $a _{n} = 3$ $n = 4 k - 2 , 4 k - 1 ( k = 1 , 2 , \cdots )$인 경우 $a _{n} = 1$ 즉, $( 3 , 1 , 1 , 3 )$이 계속 반복된다. 따라서 $2009 = 4 \times 502 + 1$이므로 $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{2009} a _{n} = 8 \times 502 + a _{2009} = 4016 + 3 = 4019$