가우스 기호와 등비수열 조건

$x - [ x ] , [ x ] , x$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $[ x ] ^{2} = x \cdot ( x - [ x ] )$ $x = n + \alpha$ (단, $n$은 정수, $0 \leq \alpha < 1$)이라 하면 $n ^{2} = ( n + \alpha ) \cdot \alpha$ $n ^{2} - \alpha n - \alpha ^{2} = 0$ $\displaystyle \therefore n = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha ^{2} + 4 \alpha ^{2}}}{2} = \frac{1}{2} ( \sqrt{5} + 1 ) \alpha$ $\displaystyle \therefore n = 1 , \alpha = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 그러므로 $\displaystyle \therefore x = 1 + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ $\displaystyle \therefore x - [ x ] = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$