미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

가우스 기호 무한급수

문제

다음은 무한급수∑n=1∞[342n+12]\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} + \frac{1}{2} \right]의 합을 구하는 과정을 나타낸 것이다. (단, [x]\left[ x \right]는 xx를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [x]=n(n은정수)\left[ x \right] = n ( n \text{은} \text{정수} )로 놓으면, n≤x<n+1n \leq x < n + 1 (ⅰ) n≤x<n+12\displaystyle n \leq x < n + \frac{1}{2}일 때, [x]=n,[x+12]=n,[2x]=2n\displaystyle \left[ x \right] = n , \left[ x + \frac{1}{2} \right] = n , \left[ 2 x \right] = 2 n (ⅱ) n+12≤x<n+1\displaystyle n + \frac{1}{2} \leq x < n + 1일 때, [x]=n,[x+12]=n+1,[2x]=2n+1\displaystyle \left[ x \right] = n , \left[ x + \frac{1}{2} \right] = n + 1 , \left[ 2 x \right] = 2 n + 1 (ⅰ), (ⅱ)에 의해서 [x]+[x+12]=[2x]\displaystyle \left[ x \right] + \left[ x + \frac{1}{2} \right] = \left[ 2 x \right]이다. 한편, [342n]+[342n+12]=□A\displaystyle \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} \right] + \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} + \frac{1}{2} \right] = {\square {A}} 이므로 ∑k=1n[342k+12]=∑k=1n{[342k−1]−[342k]}\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k}} + \frac{1}{2} \right] = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k - 1}} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k}} \right] \right\}=□B= {\square {B}} ∴∑n=1∞[342n+12]=□(가)\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} + \frac{1}{2} \right] = {\square {( \text{가} )}}

이 과정에서 (가)에 알맞은 것은? [4점] ①5555②6767③7373④7979⑤8181

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 무한급수의 합 구하는 과정 이해하기 [x]+[x+12]=[2x]\displaystyle \left[ x \right] + \left[ x + \frac{1}{2} \right] = [ 2 x ]이므로 [342n]+[342n+12]=[2⋅342n]=[342n−1]\displaystyle \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} \right] + \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} + \frac{1}{2} \right] = \left[ 2 \cdot \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} \right] = \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n-1}} \right]이다. Sn=∑k=1n[342k+12]=∑k=1n{[342k−1]−[342k]}\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k}} + \frac{1}{2} \right] = \sum\limits _{{k} = 1} ^{n} \left\{ \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k-1}} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{k}} \right] \right\} =([34]−[342])+([342]−[3422])+⋯\displaystyle = \left( \left[ 3 ^{4} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2} \right] \right) + \left( \left[ \frac{3 ^{4}}{2} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{2}} \right] \right) + \cdots+([342n−1]−[342n])\displaystyle + \left( \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n-1}} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} \right] \right) =[34]−[342n]\displaystyle = \left[ 3 ^{4} \right] - \left[ \frac{3 ^{4}}{2 ^{n}} \right] ∴lim⁡n→∞Sn=34=81\displaystyle \therefore \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = 3 ^{4} = 81

태그

#무한급수#가우스 기호#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로