공통수학1여러 가지 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

가우스 기호 방정식이 실근을 가질 조건

문제

xx에 대한 방정식 [x]2−3[x]+k=0[ x ] ^{2} - 3 [ x ] + k = 0이 실근을 갖도록 하는 정수 kk의 개수는? (단, −10≤k≤10- 10 \leq k \leq 10이고, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] ①33②44③55④66⑤1313

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②

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해설

[x]=t[ x ] = t로 놓으면 tt는 정수이고 t2−3t+k=0t ^{2} - 3 t + k = 0 주어진 방정식이 실근을 가지려면 [x]=t[ x ] = t인 실수 xx가 존재해야 하므로 이 방정식이 정수인 근 tt를 가져야 한다. 즉 k=−t2+3t=−t(t−3)k = - t ^{2} + 3 t = - t ( t - 3 ) (tt는 정수) t=1,2t = 1 , 2일 때 k=2k = 2 t=0,3t = 0 , 3일 때 k=0k = 0 t=−1,4t = - 1 , 4일 때 k=−4k = - 4 t=−2,5t = - 2 , 5일 때 k=−10k = - 10 t≤−3t \leq - 3 또는 t≥6t \geq 6일 때 k≤−18k \leq - 18 따라서 −10≤k≤10- 10 \leq k \leq 10인 정수 kk는 22, 00, −4- 4, −10- 10의 44개 ②

태그

#가우스 기호가 있는 방정식#정수 조건#거꾸로 추론

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