공통수학1여러 가지 방정식수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

갑과 을 이동거리

문제

그림과 같이 직선 도로 위에 세 지점 $A , B , C$ 가 있고 갑은 $A$ , 을은 $B$ 에 있다.

갑이 $A$ 에서 출발하여 $B$ 를 거쳐 $C$ 를 향하여 움직인다. 갑이 $B$ 에 도착하였을 때, 을이 $B$ 를 출발하여 갑과 을이 동시에 $C$ 에 도착하였다. 갑과 을이 같은 속도로 움직였을 때, 다음은 갑과 을의 이동거리에 관한 설명이다. (i) 갑이 $A$ 에서 출발한 후 $a$ 만큼 이동하였을 때, 을이 이동한 거리는 $A$ 에서 $C$ 까지 거리의 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이다. (ii) 을이 $B$ 에서 출발한 후 $a$ 만큼 이동하였을 때, 갑이 $A$ 에서 출발하여 이동한 거리는 $B$ 에서 $C$ 까지 거리와 같다.

갑과 을이 이동한 거리의 총합이 $66$ 일 때, $a$ 의 값을 구하시오. (단, $A$ 에서 $B$ 까지의 거리는 $a$ 보다 작고, 직선 도로의 폭은 무시한다.) [4점]

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해설

[출제의도] 연립방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기 $A$ 와 $B$ 사이의 거리를 $x$ , $B$ 와 $C$ 사이의 거리를 $y$ 라 하자. (i) 갑이 $a$ 만큼 이동하였을 때, 을이 이동한 거리는 $a - x$ 이므로 $\displaystyle a - x = \frac{1}{2} ( x + y )$

(ii) 을이 이동한 거리가 $a$ 일 때, 갑이 $A$ 에서 출발하여 이동한 거리는 $x + a$ 이므로 $x + a = y$

(i), (ii)에 의해 $\displaystyle y = x + x + \frac{1}{2} ( x + y )$ 이므로 $y = 5 x$ 이때, 이동한 거리의 총합은 $x + y + y = x + 2 y = 66$ 이므로 $x = 6 , y = 30$ 따라서 $a = y - x = 30 - 6 = 24$

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