미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

감소함수 역함수 적분

문제

미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) x1<x2x _{1} < x _{2}인 임의의 두 실수 x1x _{1}, x2x _{2}에 대하여 f(x1)>f(x2)f ( x _{1} ) > f ( x _{2} ) 이다. (나) 닫힌구간 [−1,3][ - 1 , 3 ]에서 함수 f(x)f ( x )의 최댓값은 11이고 최솟값은 −2- 2이다.

∫−13f(x)dx=3\displaystyle \int _{- 1} ^{3} {} f ( x ) dx = 3일 때, ∫−21f−1(x)dx\displaystyle \int _{- 2} ^{1} {} f ^{- 1} ( x ) dx의 값은? [3점] ①44②55③66④77⑤88

정답 보기
⑤

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 문제를 해결한다. 조건 (가)에 의해 함수 f(x)f ( x )는 감소한다. 그러므로 조건 (나)에 의해 f(−1)=1f ( - 1 ) = 1, f(3)=−2f ( 3 ) = \mathit{-} 2 즉 f−1(1)=−1f ^{- 1} ( 1 ) = \mathit{-} 1, f−1(−2)=3f ^{- 1} ( - 2 ) = 3 ∫−21f−1(x)dx\displaystyle \int _{- 2} ^{1} {} f ^{- 1} ( x ) dx에서 f−1(x)=tf ^{- 1} ( x ) = t로 놓으면 x=−2x = \mathit{-} 2일 때 t=3t = 3, x=1x = 1일 때 t=−1t = \mathit{-} 1이고, x=f(t)x = f ( t )에서 dxdt=f′(t)\displaystyle \frac{dx}{dt} = f' ( t )이므로 ∫−21f−1(x)dx\displaystyle \int _{- 2} ^{1} {} f ^{- 1} ( x ) dx=∫3−1tf′(t)dt\displaystyle = \int _{3} ^{- 1} {} tf' ( t ) dt =[tf(t)]3−1−∫3−1f(t)dt\displaystyle = \left[ tf ( t ) \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \right] _{3} ^{- 1} - \int _{3} ^{- 1} {} f ( t ) dt =−f(−1)−3f(3)+∫−13f(t)dt\displaystyle = \mathit{-} f ( - 1 ) - 3 f ( 3 ) + \int _{- 1} ^{3} {} f ( t ) dt =−1+6+3= \mathit{-} 1 + 6 + 3=8= 8

태그

#역함수#부분적분#치환적분

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 적분법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로