공통수학2평면좌표AI기본 문제 (3점 중반)

각의 이등분선과 좌표

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 세 점 $\mathrm{A} ( 2 , 1 )$ , $\mathrm{B} ( 2 , 7 )$ , $\mathrm{C} ( 14 , 1 )$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 에서 $\angle \mathrm{A}$ 의 이등분선이 변 $\mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하자. 점 $\mathrm{D}$ 의 좌표를 $( a , b )$ 라 할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 7 - 1 = 6$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 14 - 2 = 12$ 각의 이등분선 정리에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} : \overline{\mathrm{DC}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AC}} = 6 : 12 = 1 : 2$ 점 $\mathrm{D}$ 는 선분 $\mathrm{BC}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점이므로 $\displaystyle a = \frac{1 \times 14 + 2 \times 2}{1 + 2} = 6$ , $\displaystyle b = \frac{1 \times 1 + 2 \times 7}{1 + 2} = 5$ (검산: $\angle \mathrm{A} = 90 ^{\circ}$ 이므로 이등분선은 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 기울기가 $1$ 인 직선이고, $\mathrm{D} ( 6 , 5 )$ 는 $5 - 1 = 6 - 2$ 를 만족시켜 이 직선 위에 있다.) 따라서 $a + b = 11$

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