기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

각 이등분 자취 타원

문제

좌표평면에서 원 x2+y2=36x ^{2} + y ^{2} = 36 위를 움직이는 점 P(a,b)\mathrm{P} ( a , b )와 점 A(4,0)\mathrm{A} ( 4 , 0 )에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 Q\mathrm{Q} 전체의 집합을 XX라 하자. (단, b≠0b \ne 0)

(가) 점 Q\mathrm{Q}는 선분 OP\mathrm{O} P 위에 있다. (나) 점 Q\mathrm{Q}를 지나고 직선 AP\mathrm{A} P에 평행한 직선이 ∠OQA\angle \mathrm{O} QA를 이등분한다.

집합의 포함관계로 옳은 것은? [4점] ①X⊂{(x,y)∣(x−1)29−(y−1)25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} - \frac{( y - 1 ) ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.②X⊂{(x,y)∣(x−2)29+(y−1)25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.③X⊂{(x,y)∣(x−1)29−y25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.④X⊂{(x,y)∣(x−1)29+y25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 1 ) ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.⑤X⊂{(x,y)∣(x−2)29+y25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.

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⑤

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해설

AP‾//BQ‾\displaystyle \overline{AP} / / \overline{BQ}이므로 ∠AQB=∠QAP\angle AQB = \angle QAP, ∠OQB=∠QPA\angle OQB = \angle QPA 따라서, ∠QAP=∠QPA\angle QAP = \angle QPA 이므로 삼각형QAPQAP는 QA‾=QP‾\displaystyle \overline{QA} = \overline{QP}인 이등변삼각형이고, OQ‾+QB‾=OQ‾+QP‾=OP‾=6\displaystyle \overline{OQ} + \overline{QB} = \overline{OQ} + \overline{QP} = \overline{OP} = 6 따라서, 점QQ는 두 점O,QO , Q에 이르는 거리의 합이 6으로 일정하다. 점QQ의 좌표를 (x,y)( x , y )라 하면 OQ‾+QA‾=x2+y2+(x−4)2+y2=6\displaystyle \overline{OQ} + \overline{QA} = \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} + \sqrt{( x - 4 ) ^{2} + y ^{2}} = 6 (x−4)2+y2=6−x2+y2\displaystyle \sqrt{( x - 4 ) ^{2} + y ^{2}} = 6 - \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} 양변을 제곱하여 정리하면 x2−8x+16+y2=36−12x2+y2+x2+y2\displaystyle x ^{2} - 8 x + 16 + y ^{2} = 36 - 12 \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} + x ^{2} + y ^{2} 3x2+y2=2x+5\displaystyle 3 \sqrt{x ^{2} + y ^{2}} = 2 x + 5 양변을 제곱하면 9x2+9y2=4x2+20x+259 x ^{2} + 9 y ^{2} = 4 x ^{2} + 20 x + 25 5(x−2)2+9y2=455 ( x - 2 ) ^{2} + 9 y ^{2} = 45 따라서, 점QQ의 차쥐는 (x−2)29+y25=1\displaystyle \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 (단, y≠0y \neq 0) 이므로 X⊂{(x,y)∣(x−2)29+y25=1}\displaystyle X \subset \left\{ ( x , y ) \left| \frac{( x - 2 ) ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 \right\} \right.

태그

#자취#타원#각의 이등분

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