F(x)와 f(x)의 관계식으로 F(2) 구하기

$F' ( x ) = f ( x )$이므로 $4 F ( x ) = xf ( x ) + 4 x ^{2}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $4 f ( x ) = f ( x ) + xf' ( x ) + 8 x$, 즉 $3 f ( x ) = xf' ( x ) + 8 x$ …… ㉠ $f ( x )$가 상수함수이면 ㉠의 우변이 $8 x$가 되어 모순이다. $f ( x )$가 일차함수이면 ㉠에서 $f ( x ) = 4 x$가 되어 $f ( 1 ) = 4 \ne 6$이므로 모순이다. $f ( x )$의 차수를 $n$ ($n \geq 2$), 최고차항의 계수를 $a$라 하면 ㉠의 양변의 최고차항은 $3 ax ^{n}$, $nax ^{n}$이므로 $n = 3$ $f ( x ) = ax ^{3} + bx ^{2} + cx + d$를 ㉠에 대입하면 $3 ax ^{3} + 3 bx ^{2} + 3 cx + 3 d = 3 ax ^{3} + 2 bx ^{2} + ( c + 8 ) x$ $b = 0$, $c = 4$, $d = 0$ $f ( 1 ) = a + 4 = 6$에서 $a = 2$이므로 $f ( x ) = 2 x ^{3} + 4 x$ $\displaystyle F ( x ) = \frac{xf ( x ) + 4 x ^{2}}{4} = \frac{2 x ^{4} + 8 x ^{2}}{4} = \frac{1}{2} x ^{4} + 2 x ^{2}$ 따라서 $F ( 2 ) = 8 + 8 = 16$