공통수학2함수AI기본 문제 (3점 중반)

f∘f=I 명제의 반례 함수

문제

실수 전체의 집합 RR에서 RR로의 함수 ff와 항등함수 II에 대하여 명제 ‘f∘f=If \circ f = I이면 f=If = I이다.’는 거짓이다. 다음 중 이 명제의 반례가 되는 함수는? [3점] ①f(x)=xf ( x ) = x②f(x)=x+1f ( x ) = x + 1③f(x)=2xf ( x ) = 2 x④f(x)=1−xf ( x ) = 1 - x⑤f(x)=x2f ( x ) = x ^{2}

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④

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해설

반례는 f∘f=If \circ f = I이지만 f≠If \ne I인 함수이다. f(x)=xf ( x ) = x이면 f=If = I이므로 결론을 만족시킨다. f(x)=x+1f ( x ) = x + 1이면 (f∘f)(x)=x+2( f \circ f ) ( x ) = x + 2, f(x)=2xf ( x ) = 2 x이면 (f∘f)(x)=4x( f \circ f ) ( x ) = 4 x, f(x)=x2f ( x ) = x ^{2}이면 (f∘f)(x)=x4( f \circ f ) ( x ) = x ^{4}이므로 모두 가정을 만족시키지 않는다. f(x)=1−xf ( x ) = 1 - x이면 (f∘f)(x)=1−(1−x)=x( f \circ f ) ( x ) = 1 - ( 1 - x ) = x이므로 f∘f=If \circ f = I이지만 f≠If \ne I이다. 따라서 반례가 되는 함수는 f(x)=1−xf ( x ) = 1 - x이다. 답 ④

태그

#함수#반례#합성함수#항등함수

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