f(2x)=2f(x) 함수 보기

모든 실수에 대하여 $f ( 2 x ) = 2 f ( x )$가 성립하므로 $f ( 0 ) = 0$이다 ㄱ. 함수 $g ( x )$는 $x = 0$에서 연속이다. (참) $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} g ( x ) = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = f' ( 0 )$이므로 연속이다. ㄴ. 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( 2 x ) = g ( x )$이다. (참) $x = 0$일 때는 성립한다. $x \ne 0$일 때 $\displaystyle g ( 2 x ) = \frac{f ( 2 x )}{2 x} = \frac{2 f ( x )}{2 x} = \frac{f ( x )}{x} = g ( x )$이다. ㄷ. 함수 $g ( x )$는 일차함수이다. (거짓) 함수 $g ( x )$가 일차함수라면 $g ( x ) = ax + b ( a \ne 0 )$라 두면 ㄴ에서, 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( 2 x ) = g ( x )$이므로 $2 ax + b = ax + b$가 성립해야 하므로 $a = 0$가 되어 모순이다. 그러므로 함수 $g ( x )$는 일차함수가 아니다.