공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

두 원의 공통현의 길이 구하기

문제

그림과 같이 좌표평면 위의 두 원 x2+y2=25x ^{2} + y ^{2} = 25와 (x−4)2+(y−3)2=10( x - 4 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 10이 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 만난다. 선분 AB\mathrm{AB}의 길이를 구하시오. [3점]

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해설

(x−4)2+(y−3)2=10( x - 4 ) ^{2} + ( y - 3 ) ^{2} = 10을 전개하면 x2+y2−8x−6y+15=0x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 6 y + 15 = 0 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 (x2+y2−25)−(x2+y2−8x−6y+15)=0( x ^{2} + y ^{2} - 25 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 6 y + 15 ) = 0 8x+6y−40=08 x + 6 y - 40 = 0 4x+3y−20=04 x + 3 y - 20 = 0 이 직선이 직선 AB\mathrm{AB}이다. 원 x2+y2=25x ^{2} + y ^{2} = 25의 중심 O(0,0)\mathrm{O} ( 0 , 0 )과 직선 4x+3y−20=04 x + 3 y - 20 = 0 사이의 거리는 ∣−20∣42+32=4\displaystyle \frac{\left| - 20 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}} = 4 이 원의 반지름의 길이가 55이므로 AB‾=252−42=2×3=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{5 ^{2} - 4 ^{2}} = 2 \times 3 = 6 따라서 AB‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 6

태그

#공통현#현의 길이#점과 직선 사이의 거리

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