두 원의 공통현

[출제의도] 평행이동 활용하여 문제해결하기

$\displaystyle \sqrt{3}$

원 $O _{1}$의 방정식은 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 4$ 원 $O _{1}$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 후 $y$축의 방향으로 $a$만큼 평행이동한 원 $O _{2}$의 방정식은 $\left( x - 2 \right) ^{2} + \left( y - 4 - a \right) ^{2} = 4$ 원 $O _{1}$과 원 $O _{2}$의 중심을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하면 선분 $\mathrm{AB}$는 선분 $\mathrm{CD}$에 의해 수직이등분된다. 선분 $\mathrm{AB}$와 선분 $\mathrm{CD}$가 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{\mathrm{BH}}} = \sqrt{3}$ 원 $O _{1}$과 원 $O _{2}$의 반지름의 길이가 $2$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{CH}}} = \overline{\mathrm{DH}} = 1$ $\therefore$원 $O _{2}$가 원 $O _{1}$의 중심을 지날 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{CD}}} = 2$이므로 원 $O _{2}$의 중심은 $\left( 2 , 2 \right)$ $\therefore$$- 4 - a = - 2$ 따라서 $a = - 2$