두 원소 차 조건 집합 개수

[출제의도] 수열의 극한 문제해결하기 집합 $S _{n}$의 부분집합 중 원소의 개수가 두 개인 집합에 대하여 이 두 원소의 차가 $2 n$보다 큰 임의의 두 원소를 $a$, $b$$\left( a < b \right)$라 하자. $b - a > 2 n$이므로 $b > a + 2 n$ (단, $1 \leq a < b \leq 3 n$) $a = 1$일 때, $b = 2 n + 2$, $2 n + 3$, $\cdots$ , $3 n$ $\left\{ 1 , 2 n + 2 \right\}$, $\left\{ 1 , 2 n + 3 \right\}$, $\cdots$ , $\left\{ 1 , 3 n \right\}$ : $\left( n - 1 \right)$개 $a = 2$일 때, $b = 2 n + 3$, $2 n + 4$, $\cdots$ , $3 n$ $\left\{ 2 , 2 n + 3 \right\}$, $\cdots$ , $\left\{ 2 , 3 n \right\}$ : $\left( n - 2 \right)$개 ⦙ $a = n - 1$일 때, $b = 3 n$ $\left\{ n - 1 , 3 n \right\}$ : $1$개 $n \leq a < 3 n$일 때, $b$는 없으므로 $0$개 그러므로 원소의 개수가 두 개이고, 이 두 원소의 차가 $2 n$보다 큰 집합 $S _{n}$의 모든 부분집합의 개수 $a _{n}$은 $a _{n} =$$\displaystyle \left( n - 1 \right) + \left( n - 2 \right) + \cdots + 1 = \frac{n \left( n - 1 \right)}{2}$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k \left( k - 1 \right)}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \frac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} - \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} \right\} = \frac{n ^{3} - n}{6}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n ^{3}} \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{1}{n ^{3}} \times \frac{n ^{3} - n}{6} \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 - \frac{1}{n ^{2}}}{6}} = \frac{1}{6}$