두 원과 코사인법칙 빈칸

두 점 $\mathrm{O} _{1}$, $\mathrm{O} _{2}$를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} O _{2}}}$인 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$가 있다. 그림과 같이 원 $C _{1}$ 위의 서로 다른 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$와 원 $C _{2}$ 위의 점 $\mathrm{D}$가 주어져 있고, 세 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{O} _{1}$, $\mathrm{O} _{2}$와 세 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{O} _{2}$, $\mathrm{D}$가 각각 한 직선 위에 있다. 이때 $\angle \mathrm{BO} _{1} A$$= \theta _{1}$, $\angle \mathrm{O} _{2} O _{1} C$$= \theta _{2}$, $\angle \mathrm{O} _{1} O _{2} D$$= \theta _{3}$이라 하자.

다음은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{O} _{1} D}}$$\displaystyle = 1 : 2 \sqrt{2}$이고, $\theta _{3}$$= \theta _{1} + \theta _{2}$일 때, 선분 $\mathrm{AB}$와 선분 $\mathrm{CD}$의 길이의 비를 구하는 과정이다.

$\angle \mathrm{CO} _{2} O _{1} + \angle \mathrm{O} _{1} O _{2} D$$= \pi$이므로 $\theta _{3}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} + \frac{\theta _{2}}{2}$이고 $\theta _{3}$$= \theta _{1} + \theta _{2}$에서 $2 \theta _{1} + \theta _{2}$$= \pi$이므로 $\angle \mathrm{CO} _{1} B$$= \theta _{1}$이다. 이때 $\angle \mathrm{O} _{2} O _{1} B$$= \theta _{1} + \theta _{2}$$= \theta _{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{O} _{1} O _{2} B$와 삼각형 $\mathrm{O} _{2} O _{1} D$는 합동이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$= k$라 할 때, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BO} _{2}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{O} _{1} D}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} k$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO} _{2}}}$$= {\square {\left( \text{가} \right)}}$이고, $\angle \mathrm{BO} _{2} A$$\displaystyle = \frac{\theta _{1}}{2}$이므로 $\displaystyle \cos \frac{\theta _{1}}{2}$$= {\square {\left( \text{나} \right)}}$이다. 삼각형 $\mathrm{O} _{2} BC$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}}$$= k$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BO} _{2}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} k$, $\angle \mathrm{CO} _{2} B$$\displaystyle = \frac{\theta _{1}}{2}$이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{2} C}}$$= {\square {\left( \text{다} \right)}}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{O} _{2} D}} + {\overline{\mathrm{O} _{2} C}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{O} _{1} O _{2}}} + {\overline{\mathrm{O} _{2} C}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} : {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = k : \left( \frac{{\overline{{\square {\left( \text{가} \right)}}}}}{2} + {\square {\left( \text{다} \right)}} \right)$이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 $f \left( k \right)$, $g \left( k \right)$라 하고, (나)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $f \left( p \right) \times g \left( p \right)$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{169}{27}$②$\displaystyle \frac{56}{9}$③$\displaystyle \frac{167}{27}$④$\displaystyle \frac{166}{27}$⑤$\displaystyle \frac{55}{9}$