대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원과 코사인법칙

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 r1r _{1}, r2r _{2}인 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 만나는 두 점을 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 하자. 원 C1C _{1} 위의 점 C{\mathrm{C}}와 원 C2C _{2} 위의 두 점 D{\mathrm{D}}, E{\mathrm{E}}에 대하여 세 점 C{\mathrm{C}}, A{\mathrm{A}}, D{\mathrm{D}}와 세 점 C{\mathrm{C}}, B{\mathrm{B}}, E{\mathrm{E}}가 각각 한 직선 위에 있다. r1:r2=1:2r _{1} : r _{2} = 1 : 2, AC‾=3\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 3, AD‾=5\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 5, DE‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{DE}}} = 4 일 때, 선분 CE{\mathrm{CE}}의 길이는? [4점]

①37\displaystyle 3 \sqrt{7}②66\displaystyle \sqrt{66}③69\displaystyle \sqrt{69}④62\displaystyle 6 \sqrt{2}⑤53\displaystyle 5 \sqrt{3}

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④

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해설

사각형 ABED{\mathrm{ABED}}가 원 C2C _{2}에 내접하므로 ∠EBA=π−∠ADE\angle {\mathrm{EBA}} = \mathit{\pi} - \angle {\mathrm{ADE}}에서 ∠ABC=∠ADE\angle {\mathrm{ABC}} = \mathit{\angle} {\mathrm{ADE}} 삼각형 ACB{\mathrm{ACB}}에서 사인법칙에 의하여 AC‾sin⁡(∠ABC)=3sin⁡(∠ABC)=2r1\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AC}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{ABC}} \right)} = \frac{3}{\sin \left( \angle {\mathrm{ABC}} \right)} = 2 r _{1} 삼각형 AED{\mathrm{AED}}에서 사인법칙에 의하여 AE‾sin⁡(∠ADE)=2r2\displaystyle \frac{{\overline{\mathrm{AE}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{ADE}} \right)} = 2 r _{2} r1:r2=1:2r _{1} : r _{2} = 1 : 2에서 3sin⁡(∠ABC):AE‾sin⁡(∠ADE)=2r1:2r2=1:2\displaystyle \frac{3}{\sin \left( \angle {\mathrm{ABC}} \right)} : \frac{{\overline{\mathrm{AE}}}}{\sin \left( \angle {\mathrm{ADE}} \right)} = 2 r _{1} : 2 r _{2} = 1 : 2 이므로 AE‾=6\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 6 삼각형 AED{\mathrm{AED}}에서 코사인법칙에 의하여 cos⁡(∠ADE)=52+42−622×5×4=18\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{ADE}} \right) = \frac{5 ^{2} + 4 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \times 5 \times 4} = \frac{1}{8} 삼각형 DCE{\mathrm{DCE}}에서 코사인법칙에 의하여 CE‾2=82+42−2×8×4×18=72\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} ^{2} = 8 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 8 \times 4 \times \frac{1}{8} = 72 따라서 선분 CE{\mathrm{CE}}의 길이는 62\displaystyle 6 \sqrt{2}

태그

#코사인법칙#원

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