대수삼각함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원과 접선 빈칸

문제

그림과 같이 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 서로 다른 두 점 P{\mathrm{P}}, Q{\mathrm{Q}}에서 만나고, 직선 ll이 이 두 원과 동시에 접한다. 직선 ll과 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}의 접점을 각각 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}라 할 때, ∠QAB=θ1\angle {\mathrm{QAB}} = \theta _{1}, ∠QBA=θ2\angle {\mathrm{QBA}} = \theta _{2}라 하자.

다음은 AB‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2, sin⁡θ1:sin⁡θ2=3:2\displaystyle \sin \theta _{1} : \sin \theta _{2} = \sqrt{3} : \sqrt{2}이고, 삼각형 PAB{\mathrm{PAB}}의 외접원의 반지름의 길이가 335\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{5}일 때, 선분 QA{\mathrm{QA}}의 길이를 구하는 과정이다. (단, ∠APB<∠AQB\angle {\mathrm{APB}} < \angle {\mathrm{AQB}})

원의 성질에 의하여 ∠APQ=∠QAB\angle {\mathrm{APQ}} = \angle {\mathrm{QAB}}, ∠BPQ=∠QBA\angle {\mathrm{BPQ}} = \angle {\mathrm{QBA}}이므로 ∠APB=θ1+θ2\angle {\mathrm{APB}} = \theta _{1} + \theta _{2}이다. ∠AQB=π−(θ1+θ2)\angle {\mathrm{AQB}} = \pi - \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right)이고 ∠APB<∠AQB\angle {\mathrm{APB}} < \angle {\mathrm{AQB}}이므로 θ1+θ2<π2\displaystyle \theta _{1} + \theta _{2} < \frac{\pi}{2}이다. AB‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2이고 삼각형 PAB{\mathrm{PAB}}의 외접원의 반지름의 길이가 335\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{5}이므로 삼각형 PAB{\mathrm{PAB}}에서 사인법칙에 의하여 sin⁡(θ1+θ2)=□(가)\sin \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right) = \square {\left( \text{가} \right)} 이다. sin⁡θ1:sin⁡θ2=3:2\displaystyle \sin \theta _{1} : \sin \theta _{2} = \sqrt{3} : \sqrt{2}이므로 삼각형 QAB{\mathrm{QAB}}에서 사인법칙에 의하여 QB‾=□(나)×QA‾\displaystyle {\overline{\mathrm{QB}}} = \square {\left( \text{나} \right)} \times {\overline{\mathrm{QA}}} 이다. ∠AQB=π−(θ1+θ2)\angle {\mathrm{AQB}} = \pi - \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right), AB‾=2\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2이므로 삼각형 QAB{\mathrm{QAB}}에서 코사인법칙에 의하여 QA‾=□(다)\displaystyle {\overline{\mathrm{QA}}} = \square {\left( \text{다} \right)} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 pp, qq, rr이라 할 때, p×q×r2p \times q \times r ^{2}의 값은? [4점] ①20219\displaystyle \frac{20 \sqrt{2}}{19}②21219\displaystyle \frac{21 \sqrt{2}}{19}③22219\displaystyle \frac{22 \sqrt{2}}{19}④23219\displaystyle \frac{23 \sqrt{2}}{19}⑤24219\displaystyle \frac{24 \sqrt{2}}{19}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

원의 성질에 의하여 ∠APQ=∠QAB\mathrm{\angle} APQ = \angle QAB, ∠BPQ=∠QBA\mathrm{\angle} BPQ = \angle QBA이므로 ∠APB=θ1+θ2\mathrm{\angle} APB = \theta _{1} + \theta _{2}이다. ∠AQB=π−(θ1+θ2)\mathrm{\angle} AQB = \pi - \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right)이고 ∠APB<∠AQB\mathrm{\angle} APB < \angle AQB이므로 θ1+θ2<π2\displaystyle \theta _{1} + \theta _{2} < \frac{\pi}{2}이다. AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2이고 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 외접원의 반지름의 길이가 335\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{5}이므로 삼각형 PAB\mathrm{PAB}에서 사인법칙에 의하여 2sin⁡(θ1+θ2)=635\displaystyle \frac{2}{\sin \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right)} = \frac{6 \sqrt{3}}{5} sin⁡(θ1+θ2)=□539\displaystyle \sin \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right) = {\square {\frac{5 \sqrt{3}}{9}}} 이다. sin⁡θ1+sin⁡θ2=3:2\displaystyle \sin \theta _{1} + \sin \theta _{2} = \sqrt{3} : \sqrt{2}이므로 삼각형 QAB\mathrm{QAB}에서 사인법칙에 의하여 sin⁡θ1+sin⁡θ2=QB‾:QA‾=3:2\displaystyle \mathrm{\sin} \theta _{1} + \sin \theta _{2} = {\overline{QB}} : {\overline{QA}} = \sqrt{3} : \sqrt{2}이므로 QB‾=□62×QA‾\displaystyle \mathrm{\overline{QB}} = {\square {\frac{\sqrt{6}}{2}}} \times {\overline{QA}} 이다. ∠AQB=π−(θ1+θ2)\mathrm{\angle} AQB = \pi - \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right)이므로 cos⁡(∠AQB)\mathrm{\cos} \left( \angle AQB \right)=cos⁡(π−(θ1+θ2))= \cos \left( \pi - \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right) \right) =−cos⁡(θ1+θ2)= - \cos \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right) =−1−sin⁡2(θ1+θ2)\displaystyle = - \sqrt{1 - \sin ^{2} \left( \theta _{1} + \theta _{2} \right)} =−69\displaystyle = - \frac{\sqrt{6}}{9} 이고, AB‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 2이므로 삼각형 QAB\mathrm{QAB}에서 코사인법칙에 의하여 22=QA‾2+QB‾2−2×QA‾×QB‾×cos⁡(∠AQB)\displaystyle \mathrm{2} ^{2} = {\overline{QA}} ^{2} + {\overline{QB}} ^{2} - 2 \times {\overline{QA}} \times {\overline{QB}} \times \cos \left( \angle AQB \right) 4=QA‾2+32QA‾2−2×QA‾×62QA‾×(−69)\displaystyle \mathrm{4} = {\overline{QA}} ^{2} + \frac{3}{2} {\overline{QA}} ^{2} - 2 \times {\overline{QA}} \times \frac{\sqrt{6}}{2} {\overline{QA}} \times \left( - \frac{\sqrt{6}}{9} \right) QA‾2=2419\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} ^{2} = \frac{24}{19} QA‾=□2419\displaystyle \mathrm{\overline{QA}} = {\square {\sqrt{\frac{24}{19}}}} 이므로 p=539\displaystyle p = \frac{5 \sqrt{3}}{9}, q=62\displaystyle q = \frac{\sqrt{6}}{2}, r=2419\displaystyle r = \sqrt{\frac{24}{19}}이다. 따라서 p×q×r2=539×62×(2419)2=20219\displaystyle p \times q \times r ^{2} = \frac{5 \sqrt{3}}{9} \times \frac{\sqrt{6}}{2} \times \left( \sqrt{\frac{24}{19}} \right) ^{2} = \frac{20 \sqrt{2}}{19} 이다.

태그

#사인법칙#코사인법칙#빈칸 추론

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 삼각함수의 활용 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로