기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 원 위 점의 벡터 내적

문제

그림과 같이 평면 위에 OA‾=211\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = 2 \sqrt{11}을 만족하는 두 점 O\mathrm{O}, A\mathrm{A}와 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 5\displaystyle \sqrt{5}, 14\displaystyle \sqrt{14}인 두 원 C1C _{1}, C2C _{2}가 있다. 원 C1C _{1} 위의 서로 다른 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}와 원 C2C _{2} 위의 점 R\mathrm{R}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 양수 kk에 대하여 PQ⃗=kQR⃗{\vec{\mathrm{PQ}}} = \mathit{k} {\vec{\mathrm{QR}}} (나) PQ⃗∙AR⃗=0{\vec{\mathrm{PQ}}} \bullet {\vec{\mathrm{AR}}} = 0이고 PQ‾:AR‾=2:6\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{PQ}}} : {\overline{\mathrm{AR}}} = 2 : \sqrt{6}

원 C1C _{1} 위의 점 S\mathrm{S}에 대하여 AR⃗∙AS⃗\vec{\mathrm{AR}} \bullet \vec{\mathrm{AS}}의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, Mm{M m}의 값을 구하시오. (단, π2<∠ORA<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \angle \mathrm{ORA} < \pi) [4점]

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해설

[출제의도] 평면벡터의 내적을 활용하여 문제 해결하기 조건 (가)에 의하여 세 점 P,Q,R\mathrm{P} , Q , R는 한 직선 위에 있고, 조건 (나)에 의하여 직선 AR\mathrm{AR}와 직선 PQ\mathrm{PQ}는 수직이므로 AR‾⊥PR‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}}} \perp {\overline{\mathrm{PR}}}이다. 점 O\mathrm{O}에서 선분 PQ\mathrm{PQ}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하자.

OH‾=a\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = a, HP‾=HQ‾=b\displaystyle {\overline{\mathrm{HP}}} = {\overline{\mathrm{HQ}}} = b, QR‾=c\displaystyle {\overline{\mathrm{QR}}} = c라 하면 AR‾=6b\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}}} = \sqrt{6} b 삼각형 OHQ\mathrm{OHQ}는 직각삼각형이므로 a2+b2=5a ^{2} + b ^{2} = 5 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} 삼각형 OHR\mathrm{OHR}는 직각삼각형이므로 a2+(b+c)2=14a ^{2} + \left( b + c \right) ^{2} = 14 ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} 점 O\mathrm{O}에서 선분 AR\mathrm{AR}의 연장선에 내린 수선의 발을 I\mathrm{I}라 하면 OI‾=HR‾=b+c\displaystyle {\overline{\mathrm{OI}}} = {\overline{\mathrm{HR}}} = b + c, IA‾=a+6b\displaystyle {\overline{\mathrm{IA}}} = a + \sqrt{6} b이므로 삼각형 AIO\mathrm{AIO}에서 (a+6b)2+(b+c)2=44\displaystyle \left( a + \sqrt{6} b \right) ^{2} + \left( b + c \right) ^{2} = 44 ⋯⋯㉢\cdots \cdots \text{㉢} ㉡과 ㉢에서 26ab+6b2=30\displaystyle 2 \sqrt{6} ab + 6 b ^{2} = 30 ⋯⋯㉣\cdots \cdots \text{㉣} ㉠과 ㉣에서 6a2−26ab=0\displaystyle 6 a ^{2} - 2 \sqrt{6} ab = 0 a=0a = 0 또는 a=63b\displaystyle a = \frac{\sqrt{6}}{3} b 세 점 O\mathrm{O}, P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}가 한 직선 위에 있지 않으므로 a≠0a \ne 0이고 a=63b\displaystyle a = \frac{\sqrt{6}}{3} b a=2\displaystyle a = \sqrt{2}, b=3\displaystyle b = \sqrt{3} PQ‾=23\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = 2 \sqrt{3}, AR‾=32\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}}} = 3 \sqrt{2}이고 원 C1C _{1} 위의 점 S\mathrm{S}에 대하여 AR⃗∙AS⃗{\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{AS}}}=AR⃗∙(AO⃗+OS⃗)= {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet \left( {\vec{\mathrm{AO}}} + {\vec{\mathrm{OS}}} \right)=AR⃗∙AO⃗+AR⃗∙OS⃗= {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{AO}}} + {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{OS}}} AR⃗∙AO⃗=∣AR⃗∣∣AI⃗∣=32×42=24\displaystyle {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{AO}}} = \left| {\vec{\mathrm{AR}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{AI}}} \right| = 3 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 24 AR⃗{\vec{\mathrm{AR}}}와 OS⃗{\vec{\mathrm{OS}}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하자. AR⃗∙OS⃗{\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{OS}}}=∣AR⃗∣∣OS⃗∣cos⁡θ= \left| {\vec{\mathrm{AR}}} \right| \left| {\vec{\mathrm{OS}}} \right| \cos \theta =32×5×cos⁡θ\displaystyle = 3 \sqrt{2} \times \sqrt{5} \times \cos \theta이므로 AR⃗∙OS⃗{\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{OS}}}는 cos⁡θ=1\cos \theta = 1일 때 최댓값을 갖고 cos⁡θ=−1\cos \theta = - 1일 때 최솟값을 가지므로 −310≤AR⃗∙OS⃗≤310\displaystyle - 3 \sqrt{10} \leq {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{OS}}} \leq 3 \sqrt{10} 24−310≤AR⃗∙AS⃗≤24+310\displaystyle 24 - 3 \sqrt{10} \leq {\vec{\mathrm{AR}}} \bullet {\vec{\mathrm{AS}}} \leq 24 + 3 \sqrt{10} M=24+310\displaystyle M = 24 + 3 \sqrt{10}, m=24−310\displaystyle m = 24 - 3 \sqrt{10} Mm=(24+310)×(24−310)=486\displaystyle Mm = \left( 24 + 3 \sqrt{10} \right) \times \left( 24 - 3 \sqrt{10} \right) = 486

태그

#벡터의 내적#원#최대최소

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