두 원 넓이의 합

[출제의도] 연립방정식을 이용하여 도형 문제 해결하기

$\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$는 이 순서대로 네 개의 연속된 짝수이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{2} n$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{2} n + 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \mathit{2} n + 4$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{2} n + 6$ (단, $n$은 자연수)이라 두자. $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}} = \mathit{x}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = \mathit{y}$라 두면 $x + y = 2 n + 4 \cdots \cdots \text{①}$ 두 삼각형 $\mathrm{ABD}$와 $\mathrm{ACD}$는 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2} - {\overline{BD}} ^{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} ^{2} = {\overline{AC}} ^{2} - {\overline{CD}} ^{2}$이다. $( 2 n + 6 ) ^{2} - x ^{2} = ( 2 n + 2 ) ^{2} - y ^{2} \cdots \cdots \text{ ②}$ ②에서 $8 ( 2 n + 4 ) = ( 2 n + 4 ) ( x - y )$이므로 $x - y = 8 \cdots \cdots \text{ ③}$ 이다. ①과 ③을 연립하여 풀면 $x = {n + 6}$, $y = {n - 2}$ 이고 직각삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 $( 2 n + 2 ) ^{2} = 4 n ^{2} + \left( {n - 2} \right) ^{2}$이다. 이 식을 정리하면 $n ^{2} - 12 n = 0$에서 $n = 12$ 이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{30}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \mathit{26}$이므로 두 원의 넓이의 합 $S$는 $S =$ ${15 ^{2}} \pi + {13 ^{2}} \pi = {394} \pi$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \frac{S}{\pi} = 394$이다.