두 원 무리의 교점 수

거리가 $3$인 두 점 $\mathrm{O} , \mathrm{O}'$를 중심으로 반지름이 $1 , 2 , 3 , \cdots , n$인 원을 각각 그렸을 때, 생기는 모든 교점의 개수를 $a _{n}$이라 하자. $n \geq 3$일 때, 추가로 두 점 $\mathrm{O} , \mathrm{O}'$를 중심으로 반지름이 $n + 1$인 원을 그려보자. 반지름의 길이가 $n + 1$인 원을 오른쪽에 그리고 왼쪽에 있는 원들과 만나는 점을 조사해보면 반지름이 $n - 2$인 원과 접하고, 반지름이 $n - 1$인 원, $n$인 원과는 두 점에서 만난다. 따라서, $5$개의 점이 새로 생긴다. …… ㉠ 왼쪽에 반지름의 길이가 $n + 1$인 원을 그리면 오른쪽 원들과 교점이 5개 생긴다. …… ㉡ 반지름의 길이가 $n + 1$인 원들끼리는 두 점에서 만난다. …… ㉢ 따라서, ㉠, ㉡, ㉢에서 12개의 점이 새로 생긴다. $\therefore a _{n+1} = a _{n} + 12$ $a _{20} = a _{3} + 12 \times ( 18 - 1 ) = 218$