기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 원 벡터 내적

문제

평면 위의 두 점 O1\mathrm{O} _{1}, O2\mathrm{O} _{2} 사이의 거리가 11일 때, O1\mathrm{O} _{1}, O2\mathrm{O} _{2}를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 11인 두 원의 교점을 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하자. 호 AO2B\mathrm{A} O _{2} \mathrm{B} 위의 점 P\mathrm{P}와 호 AO1B\mathrm{A} O _{1} \mathrm{B} 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 두 벡터 O1P⃗\mathrm{\vec{O _{1} P}}, O2Q⃗\mathrm{\vec{O _{2} Q}}의 내적 O1P⃗⋅O2Q⃗\mathrm{\vec{O _{1} P}} \cdot \vec{O _{2} Q}의 최댓값을 MM, 최솟값을 mm이라 할 때, M+mM + m의 값은? [3점]

①−1- 1②−12\displaystyle - \frac{1}{2}③00④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤11

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②

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해설

오른쪽 그림과 같이 선분 O1O2\mathrm{O} _{1} O _{2}의 연장선 위에 O3\mathrm{O} _{3}를 잡고 반지름의 길이가 1인 그려 원 O1\mathrm{O} _{1}과 만나는 점을 각각 A1,B1\mathrm{A} _{1} , B _{1}이라 하자. 이때, O2Q⃗=O1Q1⃗\vec{\mathrm{O} _{2} Q} = \vec{\mathrm{O} _{1} Q _{1}}인 점 Q1\mathrm{Q} _{1}을 잡고 두 벡터 O1P⃗\vec{\mathrm{O} _{1} P}, O1Q1⃗\vec{\mathrm{O} _{1} Q _{1}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 하면 O1P⃗⋅O2Q⃗\vec{\mathrm{O} _{1} P} \cdot \vec{\mathrm{O} _{2} Q}=O1P⃗⋅O1Q1⃗= \vec{\mathrm{O} _{1} P} \cdot \vec{\mathrm{O} _{1} Q _{1}} =∣O1P⃗∣∣O1Q1⃗∣cos⁡θ= \left| \vec{\mathrm{O} _{1} P} \right| \left| \vec{\mathrm{O} _{1} Q _{1}} \right| \cos \theta =cos⁡θ= \cos \theta ---㉠ 이 때, 네 삼각형 O1O2A\mathrm{O} _{1} O _{2} A, O1BO2\mathrm{O} _{1} BO _{2}, O1A1O3\mathrm{O} _{1} A _{1} O _{3}, O1O3B1\mathrm{O} _{1} O _{3} B _{1}가 정삼각형이므로 π3≤θ≤53π\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{5}{3} \pi 따라서, ㉠은 θ=π3\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}일 때, 최대값 12\displaystyle \frac{1}{2}, θ=π\theta = \pi일 때, 최소값 −1- 1을 가지므로 M+m=12+(−1)=−12\displaystyle M + m = \frac{1}{2} + ( - 1 ) = - \frac{1}{2}

태그

#벡터의 내적#원

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