두 수열 합 조건

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} = \frac{n ^{2} + n}{2}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k} = 2 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 k$이다. 그러므로 $b _{k} = 2 k$이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} = \left\{ \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} \right\} ^{2} = \frac{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}}{4}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( a _{k} - 5 \right) b _{k} = 2 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ^{3} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} 2 k ^{3}$이다. 그러므로 $\left( a _{k} - 5 \right) b _{k} = 2 k ^{3}$이다. 따라서 $b _{k} = 2 k$이므로 $a _{k} - 5 = k ^{2}$이다. $a _{k} = k ^{2} + 5$이므로 $a _{10} = 105$이다. [다른 풀이] 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해서 $b _{n} = \left( n ^{2} + n \right) - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{2} + \left( n - 1 \right) \right\} = 2 n$$( n \geq 2 )$ $b _{1} = 1 ^{2} + 1 = 2$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $b _{n} = 2 n$이다. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} b _{k} - 5 \sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( a _{k} - 5 ) b _{k}$이므로 $\displaystyle ( a _{n} - 5 ) b _{n} = \frac{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}}{2} - \frac{\left( n - 1 \right) ^{2} n ^{2}}{2} = 2 n ^{3}$$( n \geq 2 )$ $\displaystyle ( a _{1} - 5 ) b _{1} = \frac{1 ^{2} \times 2 ^{2}}{2} = 2$이므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\left( a _{n} - 5 \right) b _{n} = 2 n ^{3}$이다. $b _{n} = 2 n$이므로 $a _{n} = n ^{2} + 5$이다. 따라서 $a _{10} = 105$이다.