두 삼각형 넓이 최대

[출제의도] 미분법을 이용하여 삼각형의 넓이의 최댓값 구하는 문제를 해결한다. 점 P의 좌표는 $( \cos \theta , \sin \theta )$이므로 삼각형 $\mathrm{OQP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \cos \theta \times \sin \theta = \sin \theta \cos \theta$ 점 $\mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle \left( 2 \cos \frac{1}{2} \theta , - 2 \sin \frac{1}{2} \theta \right)$이므로 삼각형 $\mathrm{ORS}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \cos \frac{1}{2} \theta \times 2 \sin \frac{1}{2} \theta$$\displaystyle = 4 \sin \frac{1}{2} \theta \cos \frac{1}{2} \theta$ $= 2 \sin \theta$ 따라서 삼각형 $\mathrm{OQP}$와 삼각형 $\mathrm{O} RS$의 넓이의 합을 $f ( \theta )$라 하면 $f ( \theta ) = \sin \theta \cos \theta + 2 \sin \theta$ $f' ( \theta )$ $= 2 \cos ^{2} \theta + 2 \cos \theta - 1$ 이므로 $f' ( \theta ) = 0$에서 $\displaystyle \cos \theta = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$에서 $\cos \theta > 0$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ $f' ( \theta ) = 0$인 $\theta$의 값을 $\displaystyle \theta _{1} \left( 0 < \theta _{1} < \frac{\pi}{2} \right)$라 할 때, $f ( \theta )$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

그러므로 $f ( \theta )$는 $\theta = \theta _{1}$에서 극대이면서 최대이다. 따라서 $f ( \theta )$가 $$최대가 되도록 하는$\theta$에 대하여 $\cos \theta =$$\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$이다.