두 삼차함수의 곱 조건으로 정하는 60k

조건 (가)에 의하여 $f' \left( 2 \right) = 0$이고 조건 (나)의 $f \left( x \right) g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right) ^{2}$ 에서 $f \left( x \right) g \left( x \right)$는 $\left( x - 2 \right) ^{2}$을 인수로 가지고, $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 $f \left( x \right) = 5 \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 1 \right)$ 또는 $f \left( x \right) = 5 \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right)$ 또는 $f \left( x \right) = 5 \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - k \right)$ (ⅰ) $f \left( x \right) = 5 \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - 1 \right)$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같으므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다.

이때 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{5} \left( x - 1 \right) \left( x - k \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{1}{5} \left( x - k \right) ^{2} + \frac{2}{5} \left( x - 1 \right) \left( x - k \right)$ $\displaystyle g' \left( 0 \right) = \frac{21}{20}$에서 $\displaystyle \frac{1}{5} k ^{2} + \frac{2}{5} k = \frac{21}{20}$, $4 k ^{2} + 8 k - 21 = 0$ $\left( 2 k - 3 \right) \left( 2 k + 7 \right) = 0$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{3}{2} \left( \because k > 0 \right)$ (ⅱ) $f \left( x \right) = 5 \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - k \right)$일 때 (a) $k < 2$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같으므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극솟값을 갖는다.

(b) $k = 2$일 때 $f \left( x \right) = 5 \left( x - 2 \right) ^{3}$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 조건 (가)에 모순이다. (c) $k > 2$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같으므로 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 2$에서 극댓값을 갖는다.

이때 조건 (가)에 모순이다. 이상에서 $k < 2$이고 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{5} \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - k \right)$ 이므로 $\displaystyle g' \left( x \right) = \frac{2}{5} \left( x - 1 \right) \left( x - k \right) + \frac{1}{5} \left( x - 1 \right) ^{2}$ $\displaystyle g' \left( 0 \right) = \frac{21}{20}$에서 $\displaystyle \frac{2}{5} k + \frac{1}{5} = \frac{21}{20}$, $8 k + 4 = 21$ $8 k = 17$ $\therefore$ $\displaystyle k = \frac{17}{8}$ 그런데 $k < 2$이므로 모순이다. (ⅲ) $f \left( x \right) = 5 \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - k \right)$일 때 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음 그림과 같다.

$f' \left( x \right)$$= 10 \left( x - 1 \right) \left( x - k \right) + 5 \left( x - 1 \right) ^{2}$ $= 5 \left( x - 1 \right) \left( 3 x - 2 k - 1 \right)$ $f' \left( x \right) = 0$에서 $x = 1$ 또는 $\displaystyle x = \frac{2 k + 1}{3}$ $x = 2$에서 극솟값을 가지므로 $\displaystyle \frac{2 k + 1}{3} = 2$, $\displaystyle k = \frac{5}{2}$ $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{5} \left( x - 2 \right) ^{2} \left( x - \frac{5}{2} \right)$이므로 $g' \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{2}{5} \left( x - 2 \right) \left( x - \frac{5}{2} \right) + \frac{1}{5} \left( x - 2 \right) ^{2}$ $\displaystyle g' \left( 0 \right) = 2 + \frac{4}{5} = \frac{14}{5}$이므로 조건을 만족시키지 않는다. 이상에서 $\displaystyle k = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle 60 k = 60 \times \frac{3}{2} = 90$