두 로그곡선의 교점

[출제의도] 로그함수를 활용하여 문제를 해결한다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 좌표를 각각 $\left( x _{1} , y _{1} \right)$, $\left( x _{2} , y _{2} \right)$라 하자. $- \log _{2} \left( - x \right)$$= \log _{2} \left( x + 2 a \right)$에서 $\log _{2} \left( x + 2 a \right) + \log _{2} \left( - x \right)$$= 0$ $\log _{2} \left\{ - x \left( x + 2 a \right) \right\}$$= 0$ $- x \left( x + 2 a \right)$$= 1$ $x ^{2} + 2 ax + 1$$= 0$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이차방정식 ㉠의 두 실근이 $x _{1}$, $y _{1}$이므로 근과 계수의 관계에 의하여 $x _{1} + x _{2}$$= \mathit{-} 2 a$, $x _{1} x _{2}$$= 1$이다. 이때 $y _{1} + y _{2}$$= \mathit{-} \log _{2} \left( - x _{1} \right) - \log _{2} \left( - x _{2} \right)$ $= \mathit{-} \log _{2} x _{1} x _{2}$ $= \mathit{-} \log _{2} 1$$= 0$ 이므로 선분 $\mathrm{AB}$의 중점의 좌표는 $\left( - a , 0 \right)$이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점이 직선 $4 x + 3 y + 5$$= 0$ 위에 있으므로 $- 4 a + 5$$= 0$에서 $a$$\displaystyle = \frac{5}{4}$ $a$$\displaystyle = \frac{5}{4}$를 ㉠에 대입하면 $\displaystyle x ^{2} + \frac{5}{2} x + 1$$= 0$, $2 x ^{2} + 5 x + 2$$= 0$ $\left( x + 2 \right) \left( 2 x + 1 \right)$$= 0$ $x$$= \mathit{-} 2$ 또는 $x$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{2}$ 따라서 두 교점의 좌표는 $\left( - 2 , - 1 \right)$, $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , 1 \right)$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + 2 ^{2}}$$\displaystyle = \frac{5}{2}$