대수지수함수와 로그함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 로그곡선과 선분

문제

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 $y = \log _{a} x$ 위의 점 $\mathrm{A} ( 2 , \log _{a} 2 )$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{b} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{B}$ , 점 $\mathrm{B}$ 를 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 곡선 $y = \log _{a} x$ 와 만나는 점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}} = 2$ 일 때, $a ^{2} + b ^{2}$ 의 값을 구하시오. (단, $1 < a < b$ ) [3점]

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6

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해설

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하기 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} = \log _{a} 4 - \log _{b} 4 = 2$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 의 $y$ 좌표가 같으므로 $\log _{a} 2 = \log _{b} 4$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$ , $\text{㉡}$ 에 의하여 $\log _{a} 4 - \log _{a} 2$ $= \log _{a} 2 = 2$ 에서 $\displaystyle a = \sqrt{2}$ , $b = 2$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 6$

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