기하공간벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 평면 사이 최단경로

문제

좌표공간에 평행한 두 평면 α:2x−y+2z=0\alpha : 2 x - y + 2 z = 0, β:2x−y+2z=6\beta : 2 x - y + 2 z = 6 위에 각각 점 A(0,0,0)\mathrm{A} ( 0 , 0 , 0 ), B(2,0,1)\mathrm{B} ( 2 , 0 , 1 )이 있다. 평면 α\alpha 위의 점 P\mathrm{P}와 평면 β\beta 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 AQ‾+QP‾+PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} + {\overline{QP}} + {\overline{PB}}의 최솟값은? [4점] ①66②37\displaystyle \sqrt{37}③38\displaystyle \sqrt{38}④39\displaystyle \sqrt{39}⑤210\displaystyle 2 \sqrt{10}

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②

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해설

점AA의 평면β\beta에의 대칭점은 A′(83,−43,83)\displaystyle A' ( \frac{8}{3} , - \frac{4}{3} , \frac{8}{3} ) 점BB의 평면α\alpha에의 대칭점은 B′(−23,43,−53)\displaystyle B' ( - \frac{2}{3} , \frac{4}{3} , - \frac{5}{3} ) AQ+QP+PB=A′Q+QP+PB′≥A′B′=37\displaystyle AQ + QP + PB = A' Q + QP + PB' \geq A' B' = \sqrt{37}

태그

#평면의 방정식#대칭점#최솟값

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