두 포물선으로 만든 함수

네 실수 $a$, $c$, $\alpha$, $\beta$의 대소 관계에 따른 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프의 개형과 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y = k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 개수는 다음과 같다.

(ⅰ)①, ③, ⑤인 경우 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) ②인 경우 $\left( \alpha < a < \beta , c < a \right)$ 조건에 의하여 $b = 2$, $h \left( \beta \right) = 3$이다. 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$이라 하고, 직선 $y = 3$과 만나는 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x _{4}$, $x _{5}$, $x _{6}$이라 하자.

$x _{1} + x _{3} = 2 c$, $x _{2} = a$이므로 $S = 2 c + a$ $x _{4} + x _{6} = 2 c$이므로 $T = 2 c + x _{5}$ $T - S = \left( 2 c + x _{5} \right) - \left( 2 c + a \right) = x _{5} - a$ $\displaystyle x _{5} - a < 0 < \frac{a}{2}$이므로 $\displaystyle T - S \neq \frac{a}{2}$ (ⅲ) ④인 경우 $\left( \alpha < a < \beta , a < c \right)$ 조건에 의하여 $b = 2$, $h \left( \alpha \right) = 3$이다. 함수 $y = h \left( x \right)$의 그래프가 직선 $y = 2$와 만나는 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x _{1}$, $x _{2}$, $x _{3}$이라 하고, 직선 $y = 3$과 만나는 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x _{4}$, $x _{5}$, $x _{6}$이라 하자.

$x _{1} + x _{3} = 2 c$, $x _{2} = a$이므로 $S = 2 c + a$ $x _{4} + x _{6} = 2 c$이므로 $T = 2 c + x _{5}$ $\displaystyle T - S = \left( 2 c + x _{5} \right) - \left( 2 c + a \right) = x _{5} - a = \frac{a}{2}$ $\displaystyle x _{5} = \frac{3}{2} a$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 $\alpha < a < \beta$, $a < c$, $f \left( x \right) = \left( x - a \right) ^{2} + 2$, $f \left( x _{5} \right) = 3$, $\displaystyle x _{5} = \frac{3}{2} a$이다. $\displaystyle f \left( \frac{3}{2} a \right)$$\displaystyle = \left( \frac{3}{2} a - a \right) ^{2} + 2$$\displaystyle = \frac{a ^{2}}{4} + 2 = 3$ $a > 0$이므로 $a = 2$, $x _{5} = 3$ $f \left( x \right) = \left( x - 2 \right) ^{2} + 2$ $\alpha = x _{4}$이고 $x _{4} + x _{5} = 2 a$이므로 $\alpha + 3 = 4$, $\alpha = 1$ $h \left( \alpha \right) = 3$이므로 $f \left( \alpha \right) = g \left( \alpha \right) = 3$ $\displaystyle g \left( 1 \right) = - \frac{1}{2} \left( 1 - c \right) ^{2} + 11 = 3$, $c = 5$ $\displaystyle g \left( x \right) = - \frac{1}{2} \left( x - 5 \right) ^{2} + 11$ 이차방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$에서 $\displaystyle f \left( x \right) - g \left( x \right) = \frac{3}{2} \left( x - 1 \right) \left( x - 5 \right) = 0$ $\beta = 5$ $h \left( \alpha + \beta \right)$$= h \left( 6 \right)$$= g \left( 6 \right)$ $\displaystyle = - \frac{1}{2} \left( 6 - 5 \right) ^{2} + 11 = \frac{21}{2}$