공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

두 포물선 삼각형 넓이

문제

양수 $a$ 에 대하여 이차함수 $y = 2 x ^{2} - 2 ax$ 의 그래프의 꼭짓점을 $\mathrm{A}$ , $x$ 축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{O}$ , $\mathrm{B}$ 라 하자. 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 최고차항의 계수가 $- 1$ 인 이차함수 $y = f ( x )$ 의 그래프가 $x$ 축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{B}$ , $\mathrm{C}$ 라 할 때, 선분 $\mathrm{BC}$ 의 길이는 $3$ 이다. 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 넓이를 구하시오. $\left( \right.$ 단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다. $)$ [4점]

$y = f ( x )$ $y = 2 x ^{2} - 2 ax$

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[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $\displaystyle y = 2 x ( x - a ) = 2 \left( x - \frac{a}{2} \right) ^{2} - \frac{a ^{2}}{2}$ 이므로 점 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( \frac{a}{2} , - \frac{a ^{2}}{2} \right)}$ , 점 $\mathrm{B} \mathit{(} a , 0 )$ 함수 $f ( x ) = - \left( x - a \right) \left( x - a - 3 \right)$ 이고 함수 $y = f ( x )$ 의 그래프가 점 ${\mathrm{A}}$ 를 지나므로 $\displaystyle - \frac{a ^{2}}{2} = - \left( - \frac{a}{2} \right) \left( - \frac{a}{2} - 3 \right)$ $a ^{2} - 6 a = 0$ , $a$ 는 양수이므로 $a = 6$ 따라서 삼각형 $\mathrm{ACB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 18 = 27$

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