미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 포물선 사이 넓이 극한

문제

자연수 nn에 대하여, 두 곡선 y=x2−2y = x ^{2} - 2, y=−x2+2n2\displaystyle y = - x ^{2} + \frac{2}{n ^{2}}로 둘러싸인 도형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [3점] ①163\displaystyle \frac{16}{3}②143\displaystyle \frac{14}{3}③44④103\displaystyle \frac{10}{3}⑤83\displaystyle \frac{8}{3}

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⑤

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해설

두 곡선 y=x2−2,y=−x2+2n2\displaystyle y = x ^{2} - 2 , y = - x ^{2} + \frac{2}{n ^{2}}의 교점의 xx좌표는 x2−2=−x2+2n2\displaystyle x ^{2} - 2 = - x ^{2} + \frac{2}{n ^{2}}에서 x=±1+1n2\displaystyle x = \pm \sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}} 그림에서 구하는 넓이 SnS _{n}은 yy축에 대칭이므로 Sn=2∫01+1n2{(−x2+2n2)−(x2−2)}dx\displaystyle S _{n} = 2 \int _{0} ^{\sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}}} \left\{ ( - x ^{2} + \frac{2}{n ^{2}} ) - ( x ^{2} - 2 ) \right\} dx =2[−23x3+(2+2n2)x]01+1n2\displaystyle = 2 {[ - \frac{2}{3} x ^{3} + ( 2 + \frac{2}{n ^{2}} ) x ]} _{0} ^{\sqrt{1 + \frac{1}{n ^{2}}}} lim⁡n→∞1n2=0\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n ^{2}} = 0이므로 lim⁡n→∞Sn=83\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n} = \frac{8}{3}

태그

#넓이#극한

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