미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

두 포물선 사이 넓이

문제

함수 f(x)=x2−2xf ( x ) = x ^{2} - 2 x에 대하여 두 곡선 y=f(x)y = f ( x ), y=−f(x−1)−1y = \mathit{-} f ( x - 1 ) - 1로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①16\displaystyle \frac{1}{6}②14\displaystyle \frac{1}{4}③13\displaystyle \frac{1}{3}④512\displaystyle \frac{5}{12}⑤12\displaystyle \frac{1}{2}

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③

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해설

두 이차함수가 둘러싸인 부분의 넓이는 제 4 사분면에 존재한다. 그러므로 두 이차함수를 xx축으로 대칭이동하여 정적분으로 넓이를 구한다. y=−f(x−1)−1=−(x−1)2+2(x−1)=−x2+4x−4y = - f ( x - 1 ) - 1 = - ( x - 1 ) ^{2} + 2 ( x - 1 ) = - x ^{2} + 4 x - 4 y=x2−2xy = x ^{2} - 2 x 와 교점은 (2,0),(1,−1)( 2 , 0 ) , ( 1 , - 1 )이다. 두 그래프를 xx축으로 대칭이동하여 정적분을 구하면 ∫12(−x2+2x)−(x2−4x+4)dx=∫12(−2x2+6x−4)dx\displaystyle \int _{1} ^{2} {( - x ^{2} + 2 x ) - ( x ^{2} - 4 x} + 4 ) dx = \int _{1} ^{2} {( - 2 x ^{2} + 6 x - 4 ) dx} =[−23x3+3x2−4x]12=−43+53=13\displaystyle \left[ - \frac{2}{3} x ^{3} + 3 x ^{2} - 4 x \right] _{1} ^{2} = - \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{3}

태그

#넓이#대칭이동

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