두 포물선 사이 직선

[출제의도] 연립부등식 문제 해결하기 모든 실수 $x$에 대하여 $- x ^{2} + 3 x + 2 \leq mx + n$이므로 $x ^{2} + ( m - 3 ) x + n - 2 \geq 0$이다. $x ^{2} + ( m - 3 ) x + n - 2 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D = ( m - 3 ) ^{2} - 4 n + 8 \leq 0$이다. 따라서 $4 n \geq m ^{2} - 6 m + 17 \cdots \cdots \text{①}$ 이다. 모든 실수 $x$에 대하여 $mx + n \leq x ^{2} - x + 4$이므로 $x ^{2} - ( m + 1 ) x + 4 - n \geq 0$이다. $x ^{2} - ( m + 1 ) x + 4 - n = 0$의 판별식을 $D'$라 하면 $D' = ( m + 1 ) ^{2} - 16 + 4 n \leq 0$이다. 따라서 $4 n \leq - m ^{2} - 2 m + 15 \cdots \cdots \text{ ②}$ 이다. 따라서 ①, ②에 의해 $m ^{2} - 6 m + 17 \leq 4 n \leq - m ^{2} - 2 m + 15 \cdots \cdots \text{ ③}$ $m ^{2} - 6 m + 17 \leq - m ^{2} - 2 m + 15$ $2 m ^{2} - 4 m + 2 \leq 0$이다. $2 ( m - 1 ) ^{2} \leq 0$이므로 $m = 1$이고 ③에서 $12 \leq 4 n \leq 12$이므로 $n = 3$이다. 따라서 $m ^{2} + n ^{2} = 10$이다. <참고> $f ( x ) = x ^{2} - x + 4$, $g ( x ) = - x ^{2} + 3 x + 2$, $h ( x ) = mx + n$이라 하면 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x ) \leq h ( x ) \leq f ( x )$가 성립하면 된다. $f ( x ) - g ( x ) = 2 x ^{2} - 4 x + 2 = 2 ( x - 1 ) ^{2}$이므로 $y = f ( x )$의 그래프와 $y = g ( x )$의 그래프는 서로 접한다. 따라서 $g ( x ) \leq h ( x ) \leq f ( x )$가 성립하기 위해서는 그림과 같이 $y = h ( x )$의 그래프가 $y = g ( x )$와 $y = f ( x )$의 그래프에 동시에 접해야 한다. 따라서 $f ( x ) = h ( x )$에서 $x ^{2} - ( m + 1 ) x + 4 - n = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D =$ $( m + 1 ) ^{2} - 4 ( 4 - n ) = 0 \cdots \cdots$ 이다.

$y = f ( x )$ $y = h ( x )$ $y = g ( x )$

$g ( x ) = h ( x )$에서 $x ^{2} + ( m - 3 ) x + n - 2 = 0$의 판별식을 $D'$라 하면 $D' =$ $( m - 3 ) ^{2} - 4 ( n - 2 ) = 0 \cdots \cdots$ 이다. ①과 ②를 연립하면 $m = 1$, $n = 3$이므로 $m ^{2} + n ^{2} = 10$이다.