미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 포물선 넓이

문제

[13~14] 그림은 두 곡선 $y = x ^{2}$ , $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2}$ 과 꼭짓점의 좌표가 $O ( 0 , 0 )$ , $A ( n , 0 )$ , $B \left( n , n ^{2} \right)$ , $C \left( 0 , n ^{2} \right)$ 인 직사각형 $OABC$ 를 나타낸 것이다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, $n$ 은 자연수이다.)

$n = 4$ 일 때, 두 곡선 $y = x ^{2}$ , $\displaystyle y = \frac{1}{4} x ^{2}$ 과 직선 $AB$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] ① $14$ ② $16$ ③ $18$ ④ $20$ ⑤ $22$

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②

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해설

위의 그림에서 $n = 4$ 일 때, 구하는 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{4} {} \left( x ^{2} - \frac{1}{4} x ^{2} \right) dx = \int _{0} ^{4} {\frac{3}{4}} x ^{2} dx = \left[ \frac{1}{4} x ^{3} \right] _{0} ^{4} = 16$ $\therefore 16$

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