공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

두 포물선 정사각형

문제

$x \geq 0$ 인 범위에서 정의되는 두 이차함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ 과 $\displaystyle y = \frac{1}{8} x ^{2}$ 의 그래프가 있다. 그림과 같이 점 $\mathrm{A} \mathit{(} a , 0 )$ 에서 $y$ 축에 평행한 선분을 그어 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ 과 만나는 점을 $\mathrm{D}$ 라 하고, $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$ 를 한 변으로 하는 정사각형 $\mathrm{ABCD}$ 를 만들 때, 점 $\mathrm{C}$ 가 $\displaystyle y = \frac{1}{8} x ^{2}$ 위에 있다. $a$ 의 값은? [3점]

① $\displaystyle \frac{1}{2}$ ② $1$ ③ $\displaystyle \frac{3}{2}$ ④ $2$ ⑤ $\displaystyle \frac{5}{2}$

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④

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[출제의도] 이차함수에서의 수학내적문제 해결하기 ${\mathrm{A}} ( a , 0 )$ , $\displaystyle {\mathrm{D}} \left( a , \frac{1}{2} a ^{2} \right)$ , ${\mathrm{B}} ( b , 0 )$ (단, $b > a > 0$ ) 이라 하면 $\displaystyle {\mathrm{C}} \left( b , \frac{1}{8} b ^{2} \right)$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$ 는 정사각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{BC}}}$ $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} = \frac{1}{8} b ^{2}$ , $b = 2 a$ (∵ $a > 0 , b > 0$ ) …㉠ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{AB}}}$ 에서 $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} = b - a$ …㉡㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2} = 2 a - a = a$ ∴ $a = 2$ (∵ $a > 0$ )

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